По данной теме, наверняка, запоздало, но может кому ещё пригодится.
Самый оптимальный по скорости и комфорту вариант - из аэропорта Будапешта до центра Кошице ехать шатлом (сам пользуюсь вот этим
http://cassoviaexpres.sk/en/)/ Если брать только в одну строну 39€, если сразу туда-обратно, то вместе будет 70€. Около 3х часов в достаточно комфортном микроавтобусе и вы в центре Кошице.
Если надо бюджетно, то из аэропорта автобусом 200Е до ст.метро Кёбанья-Кишпешт. Далее с одной пересадкой с "синей" ветки на "зелёную" до ст. Келети.
Цена ж/д билета Будапешт-Кошице-Будапешт около 23€. Причём если брать сразу в обе стороны - это будет дешевле чем только в одну. Поезд отправляется в 6:30 и 18:30. Неплохие 6тиместные сидячие купе. Wi-fi вроде есть, но, по факту, не работал.
Из Венского аэропорта добирался 1 раз. Если вкратце, то у них есть аналог аэроэкспресса (называется САТ, стоит около 11€), который идёт до станции Wien Mitte. А дальше сайт
http://jizdnirady.idnes.cz/vlakyautobusymhdvse/spojeni/ в помощь.
Если бюджетнее надо -можно вместо CAT воспользоваться поездом/электричкой, но тут уже не подскажу точнее. Следующий вариант удешевить поездку - воспользоваться перевозчиком RegioJet
https://jizdenky.studentagency.cz/?0 (о котором тут уже упоминали). До Братиславы можно доехать за 1€, а дальше, до Кошице - за 10€ (всё зависит от степени заблаговременности покупки билетов и класса сидений). Но в любом случае, комфортнее и дешевле всего ехать поездом RegioJet Братислава-Кошице (есть wi-fi, напитки, еда).
P.S. Могу добавить личное мнение (и не только своё, но и друзей, родственников) - самый простой, быстрый и комфортный вариант добраться до Кошице, это самолёт Wizz Москва-Будапешт, а затем шатл.