Прийти с документом, удостоверяющим личность, и заполненной анкетой (анкета та, же, что на проживание, но процедура так и называется: регистрация гражданина Унии), надо бы ещё принести proof of address, хотя вроде как и без него прокатывает иногда. Заплатить небольшую пошлину. Если хочется, можно «розовую» карточку получить, но это не обязательно (хотя полезно, т.к. в ней адрес указан, ну и электронную подпись можно сделать). Подробности тут:
https://www.mic.iom.sk/ru/pr-ziv-ni/gr- ... 286-p.htmlДа, в медстраховой зарегистрироваться, например, в VšZP, хотя есть и другие. На социалку поставит на учёт работодатель.