Bilok, в университет можно приехать на день открытых дверей, если еще не прошел, в другое время приезжать бессмысленно, никто общаться не будет, если не предусмотрены правилами приема экзамены/тесты. И так до записи в университет после решения о зачислении.
Даты на примере матфиза Коменского:
22-27 апреля направляется первое письмо, сообщающее либо о предварительном зачислении, либо о точной дате экзамена/теста. Если решение принять без экзамена или они не предусмотрены правилами приема, то так в письме и будет записано. В этом случае предлагают до какого-то числа (первые пять дней июня) прислать нотариально заверенную копию *матуритного высведчения* - для иностранцев нострифицированного аттестата. То есть срок примерно месяц.
12-16 июня отправят второе письмо - собственно решение о зачислении с печатями, подписями и ссылками на законы, а также с указанием дней записи на занятия (5-6 сентября). В указанные дни записи являться лично обязательно, потом можно уехать. Занятия начинаются 25-26 сентября. После рассылки решений принятым соискателям все уйдут в отпуск.
Вот с этим-то решением о зачислении можно отправляться в полицию за ВНЖ (понятно, что сделав копии и приложив все остальные документы по списку).
У украинцев документы принимают на месте в полиции, не в консульстве. Паспорта на время рассмотрения не забирают. Документы всей семьи можно предоставлять одновременно, но сначала принимается решение по основному заявителю (до 30 дней с целью учебы), потом для воссоединяющихся до 90 дней. Отказов по таким основаниям для ВНЖ не бывает.
Сложного ничего нет, сами все сделаете.
Теперь о ребенке. Если ребенок идет в 1-вый класс, то не надо портить праздник. Можете записаться уже в словацкую, возьмут, если будут приняты документы в полицию (квиток покажете) и ждать свои три месяца вместе с мамой. Только поточнее дни посчитайте. Можно и в Киеве начать с праздника, в школу записывают здесь сразу в любой день как приедете, на следующий день в класс. Со словацким ребенку в школе будут помогать (обязанность по закону).
На подачу документов в полицию годится любая украинская страховка, словацкая и медкомиссия после получения ВНЖ.
Бланки на ВНЖ, список документов на русском здесь
https://www.mic.iom.sk/ru/Формуляры на словацком здесь
http://www.minv.sk/?pobyt-cudzinca